Théorème du point fixe de Banach-Picard
Théorème
Existence et unicité
Théorème du point fixe de Banach :
Soit \(h:I\subset{\Bbb R}\to{\Bbb R}\)
On suppose :- \(I\) est un intervalle fermé non vide de \({\Bbb R}\)
- \(h(I)\subset I\)
- \(h\) est contractante sur \(I\)
alors \(h\) admet un unique point fixe \(\alpha\in I\)
Théorème du point fixe de Banach-Picard :
- \((E,d)\) est un mesurable
- \((E,d)\) est complet
- \(\phi:E\to E\)
- \(\phi\) est contractante
$$\Huge\implies$$
- il existe un unique point fixe de \(\phi\)
- il est limite de la suite $$\begin{cases} x_0\in E\\ x_{n+1}=\phi(x_n)\end{cases}$$
![](.\Img\Pasted image 20231015231241.png)
1: Unicité :
Soient \(\alpha\ne\beta\) tels que \(\phi(\alpha)=\alpha\), \(\phi(\beta)=\beta\) et $$\underbrace{d(\phi(\alpha),\phi(\beta))}_{=d(\alpha,\beta)}\leqslant k d(\alpha,\beta)\lt d(\alpha,\beta)$$
Donc \(d(\alpha,\beta)=0\implies\alpha=\beta\)
1i: Unicité via contractance
2: Soit \(x_0\) quelconque et \((x_n)_n\) telle que \(x_{n+1}=\phi(x_n)\)
Alors $$\begin{align} d(x_{n+1},x_n)&=d(\phi(x_n),\phi(x_{n+1})\leqslant kd(x_n,x_{n-1})=kd(\phi(x_{n-1}),\phi(x_{n-2})\leqslant k^2d(x_{n-1},x_{n-2})\\ &\leqslant k^nd(x_1,x_0)\end{align}$$
2i: Existence : utiliser récursivement la contractance pour exprimer la distance entre \(x_{n+1}\) et \(x_n\) en fonction de celle entre \(x_1\) et \(x_0\)
3: $$\begin{align}\forall p\geqslant ,q,d(x_p,x_q)&\leqslant d(x_p,x_{p-1})+d(x_{p-1},x_{p-2})+\dots+d(x_{q+1},x_q)\\ &\leqslant (k^{p-1}+k^{p-2}+\dots+k^q)d(x_1,x_0)\\ &\leqslant k^q\frac{1-k^{p-q}}{1-k}d(x_1,x_0)\\ &\leqslant k^p\frac{d(x_1,x_0)}{1-k}\underset{q\to+\infty}\longrightarrow0\end{align}$$
3i: Les distances forment une suite de Cauchy
4: Soit \(\alpha\) la limite de \(x_n\)
Alors \(\phi(\alpha)=\alpha\) par continuité
4i: Conclure par continuité
END
(
Fonction contractante,
Suite de Cauchy)
Vitesse de convergence
La vitesse de convergence de la suite donnée par le théorème du point fixe de Banach-Picard est donnée par : $$d(x_n,x)\leqslant{{\frac{k^n}{1-k}d(x_0,x_1)}}$$